Über die Konvergenz einiger Jacobi-Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte symmetrischer Matrizen

1. Das Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2. Konvergente Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3. Konvergenzbeweis für zyklische Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Zur Konvergenz von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5. Allgemeine Aussagen bei symmetrischen Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6. Spezielle Aussagen für einen Schritt der Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . 37 7. Die Konvergenz der J acobi-Verfahren bei beliebiger Eigenwertverteilung 41 8. Beispiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9. Tabellen, Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . . . , 52 5 Einleitung Im folgenden solI das Konvergenzverhalten der wichtigsten Jacobi-Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte symmetrischer Matrizen der Ordnung n (n ~ 2) untersucht werden. Behandelt werden das klassische Verfahren, die zyklischen Verfahren und die zyklischen Schwellenwertverfahren (cyclic methods with thresholds). Für eine gro13e Anzahl zyklischer Verfahren wird ein neuer Konver­ genzbeweis gebracht, der im FalIe einfacher Eigenwerte sowie in gewissen Fällen auch bei Vorhandensein doppelter Eigenwerte quadratische Konvergenz liefert, wobei gleichzeitig die von A. Schönhage [8] angegebenen Abschätzungskon­ stanten verbessert werden. Auf einem anderen Wege werden genauere qualitative Aussagen über die Güte der Konvergenz bei allen 3 behandelten V orgehensweisen im FalIe einfacher Eigenwerte abgeleitet, und die Ergebnisse von P. Henrici [2] wesentIich verbessert. Für das klassische und die zyklischen Schwellenwertverfah­ ren wird dieser Weg unter Anwendung eines Hilfssatzes, der über die Lage der Maximalelemente au13erhalb der Hauptdiagonale bei symmetrischen Matrizen Auskunft gibt, Aussagen über die Konvergenz bei beliebigem Spektrum ermög­ lichen. Dabei wird sich zeigen, daB im allgemeinen um so bessere Konvergenz herrscht, j'e mehr Eigenwerte übereinstimmen. Der Einfachheit halber werden nur symmetrische Matrizen behandelt. Durch geeignete Modifikationen lassen sich die Ergebnisse ohne weiteres auf hermetische Matrizen übertragen.