Einführung in die Methoden der Numerischen Mathematik

I. Grundbegriffe.- 1. Algorithmen und Fehlerfortpflanzung.- 1.1. Algorithmen.- 1.2. Realisierung von Algorithmen.- 1.3. Die Beurteilung von Algorithmen.- 1.4. Aufgaben und Ergänzungen.- 2. Matrizen.- 2.1. Bezeichnungen.- 2.2. Matrizenprodukte.- 2.3. Das Schema von Falk.- 2.4. Rang und Determinante.- 2.5. Norm und Konvergenz.- 2.6. Aufgaben und Ergänzungen.- II. Lineare Gleichungen und Ungleichungen.- 3. Der Algorithmus von Gauß.- 3.1. Rückwärtseinsetzen.- 3.2. Der Algorithmus von Gauß.- 3.3. Pivotsuche.- 3.4. Aufgaben und Ergänzungen.- 4. Die LR-Zerlegung.- 4.1. Die LR-Zerlegung von A.- 4.2. LR-Zerlegung mit Pivotsuche.- 4.3. Lineare Gleichungssysteme.- 4.4. Aufgaben und Ergänzungen.- 5. Das Austauschverfahren.- 5.1. Variablentausch.- 5.2. Schema und Algorithmus.- 5.3. Inversion.- 5.4. Lineare Gleichungen.- 5.5. Aufgabenp und Ergänzungen.- 6. Die Cholesky-Zerlegung.- 6.1 Symmetrische Zerlegung.- 6.2 Existenz und Eindeutigkeit.- 6.3 Symmetrische lineare Gleichungssysteme.- 6.4 Nachiteration.- 6.5. Aufgaben und Ergänzungen.- 7. Die QR-Zerlegung.- 7.1. Die Householdertransformation.- 7.2. Der Algorithmus von Householder.- 7.3. Lineare Gleichungssysteme.- 7.4. Aufgaben und Ergänzungen.- 8. Relaxation.- 8.1. Koordinatenrelaxation.- 8.2. Konvergenz bei diagonaldominanten Matrizen.- 8.3. Das Minimumproblem.- 8.4. Konvergenz bei symmetrischen, positiv definiten Matrizen.- 8.5. Geometrische Deutung.- 8.6. Aufgaben und Ergänzungen.- 9. Lineares Ausgleichen.- 9.1. Überbestimmte lineare Gleichungssysteme.- 9.2. Die Verwendung der QR-Zerlegung.- 9.3. Anwendung.- 9.4. Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme.- 9.5.Anwendung.- 9.6. Geometrische Deutung und Dualität.- 9.7. Aufgaben und Ergänzungen.- 10. Lineare Optimierung.- 10.1. Lineare Ungleichungen und lineares Programm.- 10.2. Eckentausch und Simplexverfahren.- 10.3. Elimination.- 10.4. Ausgleichen nach Tschebyscheff.- 10.5. Aufgaben und Ergänzungen.- III. Iteration.- 11. Vektoriteration.- 11.1. Das Eigenwertproblem für Matrizen.- 11.2. Die Modalmatrix.- 11.3. Vektoriteration nach von Mises.- 11.4. Inverse Iteration.- 11.5. Verbesserung einer Näherung.- 11.6. Aufgaben und Ergänzungen.- 12. Der LR-Algorithmus.- 12.1. Der Algorithmus von Rutishauser.- 12.2. Der Konvergenzbeweis.- 12.3. Betragsgleiche Eigenwertpaare.- 12.4. Aufgaben und Ergänzungen.- 13. Eindimensionale Iteration.- 13.1. Kontrahierende Abbildungen.- 13.2. Fehlerabschätzungen.- 13.3. Konvergenzgeschwindigkeit.- 13.4. Das ?2-Verfahren von Aitken.- 13.5. Geometrische Konvergenzbeschleunigung.- 13.6. Nullstellen.- 13.7. Aufgaben und Ergänzungen.- 14. Mehrdimensionalelteration.- 14.1. Kontrahierende Abbildungen.- 14.2. Konvergenzgeschwindigkeit.- 14.3. Konvergenzbeschleunigung.- 14.4. Nullstellen von Systemen.- 14.5. Aufgaben und Ergänzungen.- 15. Nullstellen von Polynomen.- 15.1. Das Horner-Schema.- 15.2. Das erweiterte Horner-Schema.- 15.3. Einfache Nullstellen.- 15.4. Das Verfahren von Bairstow.- 15.5. Das erweiterte Horner-Schema für quadratische Faktoren.- 15.6. Aufgaben und Ergänzungen.- 16. Das Verfahren von Bernoulli.- 16.1. Lineare Differenzengleichungen.- 16.2. Matrixschreibweise.- 16.3. Das Verfahren von Bernoulli.- 16.4. Inverse Iteration.- 16.5. Aufgaben und Ergänzungen.- 17. Das QD-Schema.- 17.1. Der LR-Algorithmus für tridiagonale Matrizen.- 17.2. Das QD-Schema für Polynome.- 17.3. Betragsgleiche Wurzelpaare.- 17.4. Aufgaben und Ergänzungen.- IV. Interpolation und diskrete Approximation.- 18. Interpolation.- 18.1. Interpolationspolynome.- 18.2. Lagrange-Polynome.- 18.3. Lagrange-Interpolation.- 18.4. Newton-Interpolation.- 18.5. Mehrdimensionale Interpolation.- 18.6. Das Lemma von Aitken.- 18.7. Das Schema von Neville.- 18.8. Aufgaben und Ergänzungen.- 19. Diskrete Approximation.- 19.1. Die Taylorentwicklung.- 19.2. Das Stützpolynom.- 19.3. Tschebyscheff-Approximation.- 19.4. Tschebyscheff-Polynome.- 19.5. Die Minimumeigenschaft.- 19.6. Entwicklung nach Tschebyscheff-Polynomen.- 19.7. Das Ökonomisieren eines Polynoms.- 19.8. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 19.9. Die Orthogonalität der Tschebyscheff-Polynome.- 19.10. Aufgaben und Ergänzungen.- 20. Bézierpolynome.- 20.1. Bernsteinpolynome.- 20.2. Bézier-Polynome.- 20.3. Die Konstruktion von Punkt und Tangente.- 20.4. Bézier-Flächen.- 20.5. Aufgaben und Ergänzungen.- 21. Splines und Subsplines.- 21.1. Bézier-Kurven.- 21.2. Differenzierbarkeitsbedingungen.- 21.3. Kubische Splines und Subsplines.- 21.4. Die Minimaleigenschaft.- 21.5. Aufgaben und Ergänzungen.- V. Numerische Differentiation und Integration.- 22. Numerische Differentiation und Integration.- 22.1.Differentiation des Stützpolynoms.- 22.2.Fehlerabschätzung für die numerische Differentiation.- 22.3.Integration des Stützpolynoms.- 22.4.Summation.- 22.5.Fehlerabschätzung für die numerische Integration.- 22.6.Aufgaben und Ergänzungen.- 23. Extrapolation.- 23.1. Näherungsfolgen.- 23.2. Richardson-Extrapolation.- 23.3. Wiederholte Richardson-Extrapolation.- 23.4. Romberg-Integration.- 23.5. Aufgaben und Ergänzungen.- 24. Einschrittverfahren für Differentialgleichungen.- 24.1. Diskretisierung.- 24.2. Der Diskretisierungsfehler.- 24.3. Die Verfahren von Runge-Kutta.- 24.4. Paare von Runge-Kutta-Verfahren.- 24.5. Schrittweitensteuerung.- 24.6. Aufgaben und Ergänzungen.- 25. Lineare Mehrschrittverfahren für Differentialgleichungen.- 25.1. Diskretisierung.- 25.2. Die Konvergenz eines Mehrschrittverfahrens.- 25.3. Die Wurzelbedingung.- 25.4. Hinreichende Konvergenzbedingung.- 25.5. Die Anlaufrechnung.- 25.6. Prediktor-Korrektor Verfahren.- 25.7. Die Schrittweitensteuerung.- 25.8. Vergleich von Einschritt-und Mehrschrittverfahren.- 25.9. Aufgaben und Ergänzungen.