Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder

1 Einführung.- 1.1 Computergestützte Entwicklung und Konstruktion.- 1.2 Elektromagnetische Felder in der Technik.- 1.3 Numerische Feldberechnung.- 1.4 Einzelne numerische Methoden.- 2 Feldgleichungen.- 2.1 Feldgrößen.- 2.1.1 MAXWELL’sche Gleichungen.- 2.1.2 Stetigkeitsbedingungen.- 2.1.2.1 Elektrisches Feld.- 2.1.2.2 Magnetisches Feld.- 2.1.2.3 Kontinuität des Stroms.- 2.1.3 Randbedingungen.- 2.1.3.1 Elektrisches Feld.- 2.1.3.2 Magnetisches Feld.- 2.2 Potentiale.- 2.2.1 Elektrisches Skalarpotential.- 2.2.1.1 Randbedingungen.- 2.2.2 Magnetisches Vektorpotential.- 2.2.2.1 Eichung.- 2.2.2.2 Randbedingungen.- 2.2.3 Magnetisches Skalarpotential.- 2.2.3.1 Randbedingungen.- 2.2.4 Übergeordnete Potentiale.- 2.3 Problemklassen.- 2.3.1 Statische Probleme.- 2.3.1.1 Magnetostatische Probleme.- 2.3.2 Zeitabhängige Probleme.- 2.3.2.1 Wirbelstrom- und Skineffektprobleme.- 2.3.2.2 Wellenausbreitung.- 2.3.3 Sinusförmige Zeitabhängigkeit.- 2.3.4 Ebene Probleme.- 3 Analytische und analytisch-numerische Verfahren.- 3.1 Analytische Verfahren.- 3.1.1 Beispiel: Leitende Kugel im Wechselfeld einer Kreisschleife.- 3.1.2 Beispiel: Leitendes Rotationsellipsoid im Wechselfeld einer Kreisschleife.- 3.1.3 Beispiel: Leitender elliptischer Zylinder im Wechselfeld.- 3.2 Analytisch-numerische Verfahren.- 3.2.1 Analytisch-numerische Verfahren mit vollständigem Orthogonalsystem.- 3.2.2 Die Mehrfach-Multi-Pol(MMP)-Methode.- 4 Finite Elemente Methode.- 4.1 Statisches Randwertproblem.- 4.1.1 Integrale Formulierung und FEM-Strategie.- 4.1.1.1 Randwertproblem.- 4.1.1.2 Technischer Anwendungsfall.- 4.1.1.3 Strategie eines gewichteten Residuums.- 4.1.1.4 Anwendung des 1. GREEN’schen Satzes.- 4.1.1.5 Randintegral.- 4.1.1.6 Lokales GALERKIN-Verfahren.- 4.1.1.7 Variationsintegral.- 4.1.1.8 Gleichungssystem.- 4.1.2 Geometrie der Elemente.- 4.1.2.1 Querschnitts-Elemente (2D).- 4.1.2.2 Volumen-Elemente (3D).- 4.1.2.3 Transformation von Elementen (2D und 3D).- 4.1.3 Diskretisierung mit linearen Elementen.- 4.1.3.1 Querschnitts-Diskretisierung (2D).- 4.1.3.2 Lokale Basisfunktionen (2D).- 4.1.3.3 Lokale Standard-Formfunktionen (2D).- 4.1.3.4 Dreiecks-Koordinaten.- 4.1.3.5 Volumen-Diskretisierung (3D) mit Tetraederelementen.- 4.1.3.6 Lokale Basisfunktionen (3D).- 4.1.3.7 Lokale Standard-Formfunktionen (3D).- 4.1.3.8 Tetraederkoordinaten.- 4.1.3.9 Hierarchische Formfunktionen (ID, 2D, 3D).- 4.1.4 Diskretisierung mit höheren Elementen.- 4.1.4.1 Polynom-Ansatz.- 4.1.4.2 Ansatz nach SILVESTER.- 4.1.4.3 Hierarchischer Ansatz.- 4.1.4.4 Vereinfachter Ansatz.- 4.1.4.5 Ansätze in 3D-Fällen.- 4.1.4.6 Globale und lokale Koordinaten, Gradientenbildung, Integration.- 4.1.4.7 Zusammenstellung von Standard-Elementen.- 4.1.5 Stetigkeit der Formfunktionen.- 4.1.6 Diskretisierung mit Kantenelementen (edge elements).- 4.1.6.1 Knoten- und Kantenelemente - wesentliche Merkmale.- 4.1.6.2 Tetraeder-Kantenelemente.- 4.1.6.3 Hexaeder-Kantenelemente.- 4.1.6.4 Stetigkeit.- 4.1.6.5 Singularitäten.- 4.1.6.6 Unechte Eigenmoden.- 4.1.7 Gleichungssystem.- 4.1.7.1 Elementmatrix.- 4.1.7.2 Gesamtmatrix.- 4.1.7.3 Automatische Verarbeitung.- 4.1.7.4 Eingabe der Randbedingungen.- 4.1.7.5 Lösung des Gleichungssystems.- 4.1.7.6 Lösung des Gleichungssystems für nichtlineare Materialien.- 4.1.8 Beispiel Ladungsverteilung (ID).- 4.1.9 Beispiel vereinfachte Mikrostreifenleitung (2D).- 4.1.9.1 FEM-Formulierung und Gleichungssystem.- 4.1.9.2 Feldverteilung, Isolationswiderstand.- 4.1.9.3 Analytische Lösung.- 4.1.10 Beispiel Mikrostreifenleitung (3D).- 4.2 FEM-Formulierungen für weitere elektromagnetische Randwertprobleme.- 4.2.1 Schwache Formen der Differentialgleichungen.- 4.2.1.1 Elektrisches Skalarpotential.- 4.2.1.2 Magnetisches Vektorpotential.- 4.2.1.3 Magnetisches Skalarpotential.- 4.2.2 Anwendungen und Kombinationen.- 4.2.2.1 Elektrostatische Probleme.- 4.2.2.2 Magnetostatische Probleme.- 4.2.2.3 Wirbelstromprobleme.- 4.3 Fehlerabschätzung.- 4.3.1 Diskretisierungsfehler.- 4.3.2 Beschreibung des Fehlers.- 4.3.2.1 Bestimmung des Fehlers durch Abschätzung.- 4.3.3 Feststellung des Fehlers.- 4.3.3.1 Direkte Fehlerindikatoren.- 4.3.3.2 Polynomorientierte Fehlerindikatoren.- 4.3.3.3 Komplementäre Prinzipien.- 4.3.3.4 Methode von BANK und WEISER.- 4.3.4 Auswahl und Prüfung.- 4.3.4.1 Globale Fehlerabschätzung.- 4.3.4.2 Lokale Fehlerangabe.- 4.4 Adaptive Netzgenerierung.- 4.4.1 Konzept.- 4.4.2 Generierung eines Startnetzes.- 4.4.2.1 Netzgenerierung für 2D.- 4.4.2.2 Minimaltriangulierungen.- 4.4.2.3 Netzgenerierung für 3D.- 4.4.3 Adaptive Netzverfeinerung.- 4.4.4 h- Verfeinerung.- 4.4.4.1 Elementunterteilung.- 4.4.4.2 Netzglättung.- 4.4.5 p-Verfeinerung.- 4.4.5.1 Realisierung der p-Adaption.- 4.4.5.2 Kombination mit der h-Verfeinerung.- 4.4.6 Effektivität adaptiver Netzgenerierung.- 4.4.6.1 Approximationsfehler.- 4.4.6.2 Rechenzeitverbrauch.- 4.5 Weitere Beispiele und Resultate.- 4.5.1 Programmpaket 3DFE.- 4.5.1.1 Beispiel Streifenleitung: h- und p-Verfeinerung.- 4.5.1.2 h-Verfeinerung.- 4.5.1.3 p- Verfeinerung.- 4.5.2 Beispiel Switched Reluctance Motor.- 4.5.2.1 Anforderungen an die Feldberechnung.- 4.5.2.2 Berechnung eines gegebenen Motors.- 4.5.3 Beispiel TEAM-Workshop Problem #20.- 4.5.3.1 Problemstellung.- 4.5.3.2 Lösung.- 4.5.3.3 Auswertung.- 4.5.3.4 Ergebnis.- 4.5.4 Beispiel TEAM-Workshop Problem #7.- 4.5.4.1 Problemstellung.- 4.5.4.2 Lösung.- 4.5.4.3 Auswertung.- 4.5.4.4 Ergebnis.- 4.5.5 Beispiel aus der Mikroelektronik: Leitungsdiskontinuität (Via).- 4.5.5.1 Problemstellung.- 4.5.5.2 Lösung.- 5 Boundary Element Methode.- 5.1 Statisches Randwertproblem.- 5.1.1 Randintegralgleichung und BEM-Strategie.- 5.1.1.1 Randwertproblem.- 5.1.1.2 Technischer Anwendungsfall.- 5.1.1.3 Gewichtetes Residuum und 2. GREEN’scher Satz.- 5.1.1.4 DIRAC-Delta-Funktion.- 5.1.1.5 Randintegralgleichung.- 5.1.1.6 Die beiden Hauptschritte der BEM.- 5.1.1.7 GREEN’sches Äquivalenztheorem.- 5.1.2 Fundamentallösungen.- 5.1.3 Singularitäten.- 5.1.3.1 Glatter Rand.- 5.1.3.2 Rand mit Kante (2D).- 5.1.3.3 Rand mit Ecke (3D).- 5.1.4 Diskretisierung.- 5.1.4.1 Rand-Diskretisierung (2D).- 5.1.4.2 Oberflächen-Diskretisierung (3D).- 5.1.5 Gleichungssystem und Innenraum-Lösung.- 5.1.5.1 Gleichungssystem für konstante Elemente und Innenraum-Lösung.- 5.1.5.2 Gleichungssystem für höhere Elemente.- 5.1.6 Beispiel Mikrostreifenleiter (2D).- 5.1.6.1 Aufgabenstellung.- 5.1.6.2 Das feldbeschreibende Randwertproblem.- 5.1.6.3 BEM-Formulierung.- 5.1.6.4 Diskretisierung.- 5.1.6.5 Numerische Auswertung.- 5.1.7 Beispiel Strömungsfeld in anisotroper Kohlebürste (2D).- 5.1.7.1 Aufgabenstellung.- 5.1.7.2 Zu lösendes Randwertproblem.- 5.1.7.3 BEM-Formulierung.- 5.1.7.4 Diskretisierung.- 5.1.7.5 Numerische Auswertung.- 5.2 Quasistationäres Übergangsproblem.- 5.2.1 Randintegralgleichungen und BEM-Strategie im skalaren 2D-Fall.- 5.2.1.1 Aufgabenstellung und Randwertproblem.- 5.2.1.2 BEM-Formulierung.- 5.2.1.3 Diskretisierung und Gleichungssystem.- 5.2.1.4 Beispiele und numerische Auswertung.- 5.2.2 Randintegralgleichungen und BEM-Strategie im vektoriellen 3D-Fall (Direkte BEM).- 5.2.2.1 E, H-Formulierung.- 5.2.2.2 Diskretisierung und Gleichungssystem.- 5.2.2.3 Verbesserte E, H-Formulierung.- 5.2.2.4 Beispiele und numerische Auswertung.- 5.2.2.5 A, ?-Formulierung.- 5.2.2.6 IBC-Formulierung.- 5.2.3 Indirekte BEM-Strategie im vektoriellen 3D-Fall.- 5.2.3.1 H, ?-Formulierung.- 5.2.3.2 Diskretisierung und Gleichungssystem.- 5.2.3.3 Berechnung der wirklichen Feldgrößen.- 5.2.3.4 Beispiele zur Abschirmung und Elektromagnetischen Verträglichkeit.- 5.3 Streuung elektromagnetischer Wellen.- 5.3.1 Randintegralgleichungen und BEM-Strategie.- 5.3.2 Diskretisierung und Gleichungssystem.- 5.3.3 Beispiele.- 5.3.3.1 Reflexion einer ebenen Welle am leitenden Zylinder.- 5.3.3.2 Drahtantenne vor dielektrischem Körper.- 5.3.3.3 Gewebe-Hyperthermie mittels elektromagnetischer Felder.- 5.4 Integrale.- 5.4.1 Singuläre Integrale der LAPLACE-Gleichung (2D).- 5.4.1.1 Konstante Elemente.- 5.4.1.2 Lineare Elemente.- 5.4.2 Singuläre Integrale der skalaren HELMHOLTZ-Gleichung (2D).- 5.4.2.1 Konstante Elemente.- 5.4.2.2 Lineare Elemente.- 5.4.3 Singuläre Integrale der LAPLACE-Gleichung (3D).- 5.4.3.1 Konstante Elemente.- 5.4.3.2 Lineare Elemente.- 5.4.4 Singuläre Integrale der vekt. HELMHOLTZ-Gleichung (3D).- 5.4.4.1 Konstante Elemente.- 5.4.4.2 Lineare Elemente.- 5.4.5 Verfahren zur Behandlung von nahezu singulären Integralen.- 5.4.5.1 Verfahren der LOG-L1-Transformation für nahezu singuläre Konturintegrale.- 5.4.5.2 Verfahren zur Berechnung der nahezu singulären Flächenintegrale.- 5.5 Spezielle Probleme der BEM.- 5.5.1 Mehrere Gebiete.- 5.5.2 Symmetrie.- 5.5.2.1 Physikalische Symmetrie.- 5.5.2.2 Geometrische Symmetrie.- 5.5.3 Anisotropie.- 5.5.4 Kanten und Ecken.- 5.5.4.1 Abrundung von Ecken und Kanten.- 5.5.4.2 Diskontinuierliches Element.- 5.5.4.3 Doppelknoten-Elemente.- 5.5.4.4 Kanten-Probleme bei periodischen Randbedingungen.- 5.5.4.5 Diskontinuierliche Randbedingungen.- 5.5.4.6 Ecken-Probleme.- 5.6 Parallele Berechnung nichtlinearer Wirbelströme.- 5.6.1 Nichtlineare Problemstellung.- 5.6.1.1 Darstellung der Magnetisierungskurve.- 5.6.2 Iterativer Lösungsweg und BEM-Formulierung.- 5.6.3 Beispiele und Ergebnisse.- 5.7 Weitere mit der BEM behandelte Probleme.- 5.7.1 Nichtlineare magnetostatische Probleme.- 5.7.2 Transiente Wirbelströme.- 5.7.3 T, ?-Formulierung.- 5.7.4 Magnetostatische Probleme mit dünnen Plattenmaterialien.- 5.7.5 Felder in Halbleiter-Materialien.- 5.7.6 Adaptive Randnetz-Verfeinerung.- 5.7.7 Kanten-Elemente (edge elements).- 5.7.8 Besondere Behandlung der Integrale.- 6 Hybride FEM/BEM-Methode.- 6.1 Allgemeine Problemstellung.- 6.2 FEM-Formulierung für den FEM-Bereich.- 6.2.1 Oberflächenintegral der FEM-Formulierung.- 6.2.2 FEM-Formulierung in Matrix-Form.- 6.3 BEM-Formulierung für den BEM-Bereich.- 6.3.1 Auswahl der Randelemente.- 6.3.2 BEM-Formulierung in Matrix-Form.- 6.4 Kopplung des FEM- und BEM-Systems.- 6.4.1 System-Matrix für ein einfaches Beispiel.- 6.4.2 Lösung des Gleichungssystems.- 6.5 Beispiel zur Elektromagnetischen Verträglichkeit.- 6.6 3D-FEM/BEM-Kopplung bei vektoriellen Differentialgleichungen.- 7 Weitere numerische Methoden.- 7.1 Methode der Finiten Differenzen.- 7.1.1 FDM-Diskretisierung und Gleichungssystem.- 7.1.2 FDM-Herleitung aus der Strategie der gewichteten Residuen.- 7.2 FIT-Methode (Finite Integration Theory).- 7.2.1 Methodik.- 7.2.2 Besondere Eigenschaften.- 7.3 Momentenmethode.- 7.3.1 Prinzip der Methode.- 7.3.2 Basis- und Gewichtsfunktion.- 7.3.3 Beispiel für elementweise definierte Basis- und Gewichtsfunktion (Stromverdrängung).- 7.3.4 Beispiel für elementweise definierte Basisfunktionen und DI- RAC’sche Gewichtsfunktion (Antenne).- Literatur.